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一 证明的由来1

1.1 证明的作用是什么2

1.2 数学证明的由来3

1.3 古代希腊的数学证明4

1.4 证明方法不限于数学6

1.5 东方古代社会的数学证明8

二 证明的功用12

2.1 直观可靠吗13

2.2 证明可靠吗20

2.3 证明是完全客观的吗23

2.4 证明与信念28

2.5 证明与理解33

三 证明与理解（一）38

3.1 一个数学认知能力的实验38

3.2 二次方程的解的公式42

3.3 希腊《原本》里的勾股定理43

3.4 刘徽的一题多证45

3.5 高斯的一题多证49

四 证明与理解（二）55

4.1 欧拉的七桥问题55

4.2 欧拉的多面体公式61

4.3 几个重要的不等式67

五 证明与理解（三）75

5.1 一条关于正多边形的几何定理76

5.2 薄饼与三明治78

5.3 微积分基本定理80

5.4 舞伴的问题82

5.5 几个著名的反例84

六 证明与理解（四）92

6.1 四色问题92

6.2 费马最后定理96

6.3 一致收敛的函数序列99

七 反证法102

7.1 两个古老的反证法证明102

7.2 间接证明与反证法103

7.3 逆否命题104

7.4 施坦纳-李密士定理106

7.5 反证法在数学以外的运用107

八 存在性证明109

8.1 两个头发根数相同的人109

8.2 一条古老的存在性定理111

8.3 数学乎神学乎112

8.4 高斯类数猜想的征服113

8.5 存在性证明的功用116

8.6 极值问题的解的存在性119

8.7 有理数与无理数121

8.8 代数数与超越数122

九 不可能性证明126

9.1 十五方块的玩意126

9.2 一个很古老的不可能性证明128

9.3 古代三大难题130

9.4 不可能证明的证明133

9.5 希尔伯特的问题137

十 一次亲身经历：最长周长的内接多边形142

10.1 一个熟悉的问题142

10.2 初步的试验结果143

10.3 旁敲侧击145

10.4 艰苦战斗146

10.5 拨开云雾见青天149

10.6 各归其位151

10.7 余音未了154

附录156

后记180

人名中外文对照表181