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第八章 空间解析几何及矢量代数初步1

1 空间直角坐标系1

1.1 坐标系的建立1

1.2 距离公式5

2 矢量代数初步6

2.1 矢量的概念6

2.2 矢量的线性运算10

2.3 矢量的共线与共面13

2.4 矢量在轴上的投影15

2.5 矢量的分解与坐标表示17

2.6 矢量的数积20

2.7 矢量的矢积23

2.8 矢量的混合积26

2.9 二重矢积29

3 空间曲面和曲线的一般概念30

3.1 空间曲面30

3.2 空间曲线及其在坐标面上的投影34

4 空间平面与直线36

4.1 平面方程的点法式与一般式37

4.2 平面方程的其它几种形式39

4.3 空间直线43

4.4 点、线、面之间的关系45

5.1 旋转曲面与锥面50

5 二次曲面50

5.2 压缩与伸展53

5.3 二次曲面的各种类型54

6 空间直角坐标的变换65

6.1 平移66

6.2 旋转67

6.3 一般变换68

6.4 欧拉角69

习题八72

1.1 多元函数的定义77

第九章 多元函数微分法及其应用77

1 多元函数的基本概念与Rn中的点集77

1.2 Rn中的某些特定点集79

1.3 二元函数的图形82

2 多元函数的极限与连续性82

2.1 多重极限82

2.2 连续与间断85

2.3 连续函数的运算法则87

2.4 有界闭区域上的连续函数88

3 偏导数89

3.1 偏导数的定义89

3.2 计算举例91

3.3 可导与连续92

4 多元函数的微分93

4.1 全微分的概念93

4.2 可微与可导94

4.3 全微分在近似计算和误差估计中的应用98

5 复合函数的导数99

5.1 连锁规则99

5.2 几种情况101

6 全微分基本定理103

7.1 射线的参数方程105

7 方向导数、梯度105

7.2 方向导数106

7.3 梯度109

8 隐函数的导数109

8.1 由一个方程确定的隐函数110

8.2 由方程组所确定的隐函数112

9 几何方面的应用115

9.1 空间曲线的切线与法平面115

9.2 曲面的切平面与法线118

9.3 等值面与等值线121

10 高阶偏导数与高阶微分122

11 泰勒公式127

12 极值问题130

12.1 自由极值130

12.2 最大与最小134

12.3 条件极值137

习题九144

第十章 重积分和第一类线、面积分151

1 概论151

1.1 问题的提出152

1.2 一般的定义154

1.3 具体的形式155

1.4 共同的性质157

2 二重积分的计算158

2.1 化二重积分为二次积分158

2.2 用极坐标计算二重积分167

2.3 二重积分的一般变量代换172

3 三重积分的计算175

3.1 化三重积分为三次积分175

3.2 三重积分的变量代换179

4 n重积分与广义重积分186

4.1 n重积分186

4.2 广义重积分189

5 含参变量的积分192

5.1 固定限情形的含参变量常义积分193

5.2 变动限情形的含参变量常义积分196

5.3 含参变量的无穷积分198

5.4 含参变量的瑕积分202

6 第一类曲线积分的计算202

6.1 几点说明203

6.2 化第一类曲线积分为定积分203

6.3 例206

7 第一类曲面积分的计算208

7.1 面积投影定理209

7.2 光滑曲面的面积209

7.3 化第一类曲面积分为二重积分215

8.1 质心（重心）217

8 几类积分的应用217

8.2 矩220

8.3 引力222

习题十225

第十一章 第二类线、面积分及各种积分间的关系231

1 第二类曲线积分231

1.1 变力做功问题231

1.2 定义与性质233

1.3 第二类曲线积分的计算235

1.4 两类曲线积分的关系240

2.1 曲面侧的概念242

2 第二类曲面积分242

2.2 流量问题245

2.3 第二类曲面积分的定义246

2.4 第二类曲面积分的计算247

2.5 两类曲面积分间的关系251

3 格林公式254

3.1 平面单连通域与多连通域254

3.2 定理及其证明256

3.3 应用于积分路线的变形260

4 平面曲线积分与路径的无关性262

4.1 问题的提出262

4.2 定理及其证明263

4.3 原函数的求法266

5 奥—高公式267

5.1 一维单连通与二维单连通的空间区域267

5.2 定理及其证明268

6 斯托克斯公式272

6.1 定理及其证明272

6.2 空间曲线积分与路径无关的条件275

7 各种积分间的关系小结277

习题十一279

1.1 矢量函数的极限和连续283

第十二章 矢量分析及场论初步283

1 矢量分析初步283

1.2 一元矢量函数的微分285

1.3 一元矢量函数的积分288

1.4 多元矢量函数的微积分289

2 场的概念291

3 数量场的梯度293

4 矢量场的散度296

5 矢量场的旋度299

6 特殊的场302

6.1 无旋场302

6.2 无散场303

6.3 调和场306

7 场的确定306

8 正交曲线坐标下的场论量308

8.1 正交曲线坐标308

8.2 正交曲线坐标系中的场论量312

习题十二316

第十三章 常微分方程（续）320

1 一阶常微分方程的其它可解类型320

1.1 全微分方程320

1.2 积分因子323

1.3 一阶隐方程328

2 解的存在与唯一性定理335

3 幂级数解法大意343

4 标准微分方程组348

4.1 基本概念349

4.2 消去法351

4.3 首次积分353

4.4 与一阶线性偏微分方程的关系356

5 线性方程组359

5.1 基本理论360

5.2 常系数齐线性方程组的通解365

5.3 常系数非齐线性方程组的解法举例371

6 拉普拉斯变换374

6.1 基本概念374

6.2 拉氏变换的性质376

6.3 拉氏变换在求解微分方程中的应用384

习题十三387

附录392

附录一 实数的基本定理392

附录二 常系数非齐次线性方程的算子解法398

参考书目409

下册部分习题简答411