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1.1 数值分析研究内容1

第1章 引论1

1.2 误差基础知识2

1.2.1 误差的来源3

1.2.2 绝对误差和相对误差4

1.2.3 有效数字5

1.3 数值计算中应注意的问题7

1.3.1 防止有效数字的损失7

1.3.2 减少运算次数10

1.3.3 选用数值稳定性好的计算公式11

习题113

2.1.1 高斯顺序消去法15

第2章 解线性代数方程组的直接方法15

2.1 高斯消去法15

2.1.2 高斯主元消去法21

2.2 矩阵的三角分解22

2.2.1 直接三角分解法24

2.2.2 平方根法28

2.2.3 一般非奇异矩阵的三角分解30

2.2.4 解三对角方程组的追赶法33

2.3 矩阵的条件数与方程组的性态36

2.3.1 向量与矩阵的范数37

2.3.2 扰动方程组的误差界42

2.3.3 矩阵的条件数与方程组的性态43

习题245

第3章 解线性代数方程组的迭代方法49

3.1 向量和矩阵序列的极限49

3.1.1 向量和矩阵序列的极限概念49

3.1.2 向量序列与矩阵序列收敛的等价性条件50

3.2 基本迭代法52

3.2.1 J—迭代法52

3.2.2 GS—迭代法53

3.2.3 SOR—迭代法54

3.2.4 SSOR—迭代法55

3.3 迭代法的收敛性57

3.3.1 J—迭代法收敛性判定定理62

3.3. 2GS—迭代法收敛性判定定理63

3.3.3 SOR—迭代法收敛性判定定理64

3.3.4 SSOR—迭代法收敛性判定定理66

3.4 最速下降法与共轭梯度法69

3.4.1 最速下降法70

3.4.2 共轭梯度法71

习题376

第4章 解非线性方程和方程组的迭代法78

4.1 二分法79

4.1.1 逐步搜索法79

4.1.2 二分法79

4.2 迭代法80

4.3 加速迭代收敛的方法87

4.3.1 两个迭代值组合的加速方法87

4.3.2 三个迭代值组合的加速方法89

4.4 牛顿迭代法93

4.4.1 单根情形的牛顿迭代法93

4.4.2 重根情形的牛顿迭代法99

4.4.3 牛顿下山法100

4.5 弦割法与抛物线法102

4.5.1 弦割法102

4.5.2 抛物线法106

4.6 非线性方程组迭代算法108

4.6.1 实值向量函数的基本概念与性质109

4.6.2 压缩映射原理与不动点迭代法112

4.6.3 牛顿迭代法116

习题4120

第5章 矩阵特征值与特征向量的数值算法123

5.1 预备知识123

5.2 乘幂法124

5.2.1 主特征值与主特征向量的计算125

5.2.2 加速收敛技术130

5.3 反幂法132

5.4 雅可比方法134

5.5 QR方法142

5.5.1 反射矩阵143

5.5.2 平面旋转矩阵145

5.5.3 矩阵的QR分解148

5.5.4 豪斯霍尔德方法150

5.5.5 QR方法的收敛性151

5.6 对称三对角矩阵特征值的计算152

5.6.1 对称三对角矩阵的特征多项式序列及其性质152

5.6.2 实对称三对角矩阵特征值的计算156

习题5158

第6章 函数插值160

6.1 多项式插值问题160

6.2.1 拉格朗日插值基函数163

6.2 拉格朗日插值法163

6.2.2 拉格朗日插值多项式164

6.2.3 拉格朗日插值法截断误差及其实用估计165

6.2.4 拉格朗日反插值法167

6.3 牛顿插值法168

6.3.1 差商的概念及性质168

6.3.2 牛顿插值公式171

6.3.3 牛顿插值公式的计算172

6.4 等距节点插值公式173

6.4.1 差分的概念及运算173

6.4.2 差分与差商的关系175

6.4.3 等距节点插值公式175

6.5 埃尔米特插值公式177

6.6 分段插值法184

6.6.1 分段线性插值法185

6.6.2 分段二次插值法186

6.6.3 分段三次插值法188

6.7 样条插值190

6.7.1 样条插值的基本概念190

6.7.2 三弯矩插值法192

6.7.3 三转角插值法196

6.7.4 样条插值函数的收敛性199

6.8 B—样条插值201

6.8.1 m次样条函数空间201

6.8.2 B—样条基函数204

6.8.3 B—样条函数性质205

习题6208

第7章 函数逼近212

7.1 内积与正交多项式212

7.1.1 权函数212

7.1.2 内积213

7.1.3 正交性213

7.1.4 正交多项式的性质215

7.2 常见正交多项式系217

7.2.1 勒让德（Legendre）多项式系217

7.2.2 切比雪夫（Chebyshev）多项式系219

7.2.3 拉盖尔（Laguerre）多项式系220

7.2.4 埃尔米特（Hermite）多项式系222

7.2.5 第二类切比雪夫多项式系223

7.3 最佳一致逼近223

7.3.1 最佳一致逼近的概念223

7.3.2 最佳逼近多项式的存在性224

7.3.3 最佳逼近多项式的构造228

7.4 最佳平方逼近235

7.4.1 最佳平方逼近的概念236

7.4.2 正交多项式作基函数的最佳平方逼近240

7.4.3 广义傅里叶级数242

7.5 曲线拟合的最小二乘法245

7.5.1 曲线拟合问题及其求解245

7.5.2 离散Gram矩阵的性质250

7.5.3 用正交函数系作最小二乘曲线拟合251

习题7254

第8章 数值积分与数值微分256

8.1 数值积分的基本概念256

8.1.1 数值积分问题的提出256

8.1.2 数值积分问题解决的思想方法256

8.1.3 代数精度258

8.1.4 收敛性与稳定性259

8.2 插值型求积公式260

8.3 牛顿—柯特斯公式264

8.3.1 牛顿—柯特斯公式264

8.3.2 复化牛顿—柯特斯公式269

8.3.3 区间逐次分半求积法270

8.4 龙贝格求积算法273

8.4.1 理查森外推算法—数值方法中的加速收敛技巧273

8.4.2 龙贝格求积算法274

8.4.3 龙贝格求积算法的计算步骤276

8.5 高斯型求积公式278

8.5.1 高斯型求积公式的理论278

8.5.2 高斯—勒让德求积公式282

8.5.3 高斯—切比雪夫求积公式285

8.5.4 高斯—拉盖尔求积公式285

8.5.5 高斯—埃尔米特求积公式286

8.6 二重积分的求积公式287

8.7 数值微分292

8.7.1 插值法292

8.7.2 泰勒展开法294

习题8295

第9章 微分方程初值问题的数值解法297

9.1 引言297

9.2 欧拉方法及其改进299

9.2.1 显式欧拉方法299

9.2.2 隐式欧拉方法300

9.2.3 改进欧拉方法300

9.2.4 单步法的局部截断误差和阶302

9.3.1 泰勒展开法304

9.3 龙格—库塔方法304

9.3.2 龙格—库塔方法306

9.4 单步法的收敛性、相容性与稳定性312

9.4.1 收敛性312

9.4.2 相容性314

9.4.3 稳定性315

9.5 线性多步法318

9.5.1 线性多步法问题318

9.5.2 线性多步法的构造321

9.6 线性多步法的相容性、收敛性与稳定性327

9.6.1 线性多步法与微分方程的相容性327

9.6.2 线性多步法的收敛性328

9.6.3 线性多步法的稳定性331

9.7 高阶微分方程与一阶微分方程组及其刚性问题简介340

9.8 微分方程边值问题的数值方法344

9.8.1 打靶法344

9.8.2 有限差分法347

9.9 解微分方程的动力迭代法349

9.9.1 微分方程初值问题的动力迭代法350

9.9.2 微分方程初值问题动力迭代的收敛性352

9.9.3 微分方程边值问题的动力迭代法355

习题9359

习题参考答案361

参考文献372