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第一章 数学物理方程概述1

§1 偏微分方程举例和基本概念1

1.1 偏微分方程举例1

1.2 基本概念2

§2 方程及定解问题的物理推导3

2.1 弦振动方程3

2.2 薄膜平衡方程5

2.3 热传导方程7

2.4 定解条件和定解问题9

§3 两个重要原理11

3.1 杜阿梅尔原理12

3.2 叠加原理13

习题一15

第二章 分离变量法和积分变换法17

§1 齐次波动方程的第一齐边值问题17

1.1 有界弦的自由振动17

1.2 解的物理意义22

§2 齐次热传导方程的定解问题23

2.1 热传导方程的第二齐边值问题23

2.2 傅里叶积分24

2.3 齐次热传导方程的初值问题27

2.4 傅里叶积分解的物理意义28

§3 维拉普拉斯方程30

3.1 圆域内的第一边值问题30

3.2 圆域外的第一边值问题32

4.1 非齐次方程的求解33

§4 非齐次定解问题的解法33

4.2 非齐次边界条件的处理35

4.3 特殊的方程非齐次项处理36

§5 积分变换法38

习题二41

第三章 行波法44

§1 弦振动方程的初值问题44

1.1 达朗贝尔公式44

1.2 达朗贝尔解的物理意义46

1.3 阶偏微分方程的分类46

§2 高维齐次波动方程50

2.1 三维波动方程（平均值法）50

2.2 二维波动方程（降维法）52

2.3 泊松公式的物理意义53

§3 非齐次波动方程55

习题三57

第四章 格林函数法58

§1 拉普拉斯方程边值问题的提法58

§2 调和函数60

2.1 格林公式60

2.2 拉普拉斯方程的对称解61

2.3 调和函数的基本性质62

§3 格林函数65

3.1 格林函数的定义65

3.2 格林函数的性质和物理意义67

§4 几类特殊区域问题的求解68

习题四70

§1 勒让德方程的导出72

第五章 勒让德多项式72

§2 勒让德方程的幂级数解73

§3 勒让德多项式75

§4 勒让德多项式的母函数及其递推公式77

4.1 勒让德多项式的母函数77

4.2 勒让德多项式的递推公式79

§5 勒让德多项式的正交性80

§6 勒让德多项式的应用82

习题五85

第六章 贝塞尔函数87

§1 贝塞尔方程的导出87

§2 贝塞尔方程的级数解88

2.1 贝塞尔方程的求解88

2.2 贝塞尔方程的通解91

§3 贝塞尔函数的母函数及递推公式92

3.1 贝塞尔函数的母函数92

3.2 贝塞尔函数的递推公式93

§4 函数展成贝塞尔函数的级数95

4.1 贝塞尔函数零点的性质96

4.2 贝塞尔函数的正交性和归一性96

4.3 展开定理的叙述97

§5 贝塞尔函数的应用98

习题六101

第七章 变分法103

§1 泛函和泛函的极值问题103

1.1 基本概念103

1.3 泛函极值的必要条件105

1.2 变分法基本引理105

1.4 泛函极值的充分条件108

§2 泛函的条件极值问题111

2.1 泛函的条件极值及其必要条件111

2.2 应用举例113

§3 变分法应用114

3.1 泛函极值问题与边值问题114

3.2 泛函极值问题的近似解法116

习题七119

第八章 数学物理方程的有限差分法121

§1 差分方程的构造121

§2 调和方程的差分格式123

§3 热传导方程的差分格式125

§4 波动方程的差分格式127

习题八128

第九章 定解问题的适定性130

§1 适定性的概念130

§2 古典解的存在性131

§3 古典解的唯一性和稳定性133

3.1 能量积分133

3.2 古典解的唯一性134

3.3 古典解的稳定性135

习题九137

附录Ⅰ 一般形式的二阶线性常微分方程固有值问题的一些结论138

附录Ⅱ г函数的定义和基本性质140

习题参考答案142

参考文献146