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多元函数微积分史简介1

第十三章 多元函数的极限与连续性3

1.平面点集论3

1.1 邻域与点列极限3

1.2 开集、闭集、区域4

1.3 完备性定理7

1.4 紧性定理8

2.多元函数的极限10

2.1 映射与多元函数的概念10

2.2 全面极限12

2.3 累次极限14

3.多元函数的连续性16

3.1 数值函数的连续性16

3.2 向量函数的连续性19

3.3 同胚变换22

第十四章 多元函数微分学25

1.偏导数与全微分25

1.1 多元函数的偏导数25

1.2 多元函数的全微分28

2. 多元复合函数的偏导数求法32

2.1 链锁法则32

2.2 一阶微分形式的不变性37

2.3 同胚变换的Jacobi行列式38

3.高阶偏导数与高阶全微分40

3.1 多元函数的高阶偏导数40

3.2 多元复合函数的高阶偏导数43

3.3 多元函数的高阶全微分48

4.多元隐函数的求导法50

4.1 一个方程的情形50

4.2 方程给的情形55

5.1 由参数方程表示的曲线和曲面57

5.曲线的切线、曲面的切平面57

5.2 由隐函数表示的曲面和曲线59

6.方向导数和梯度64

6.1 多元函数的方向导数64

6.2 多元函数的梯度67

7.Taylor公式、凸函数70

7.1 多元函数的Taylor公式70

7.2 凸函数74

8.向量函数的可微性78

8.1 线性变换78

8.2 向量函数的微分概念84

8.3 向量函数的微分运算88

第十五章 隐函数存在定理93

1.隐函数存在定理93

1.1 一个方程的情形93

1.2 方程组的情形96

2. 逆变换存在定理102

第十六章 一般极值与条件极值107

1.一般极值问题107

1.1 极值存在的必要条件107

1.2 极值存在的充分条件110

2.条件极值问题116

2.1 极值存在的必要条件——Lagrange乘子法116

2.2 极值存在的充分条件120

3.最小二乘法128

第十七章 含参变量的积分132

1.含参变量的定积分132

2.含参变量的反常积分139

2.1 一致收敛的概念及其判别法139

2.2 含参变量的无穷积分的性质143

3.含参变量的积分计算举例154

4.Euler积分——B函数与T函数158

1.重积分的定义166

1.1 求曲顶柱体的体积166

第十八章 重积分166

1.2 面积的定义167

1.3 重积分的定义171

2.重积分的存在性及其性质173

2.1 函数可积的充分必要条件173

2.2 可积函数类178

2.3 可积函数的性质180

3.化重积分为累次积分182

3.1 化二重积分为累次积分的公式182

3.2 公式的应用186

3.3 化三重积分为累次积分192

4.重积分的变量替换197

4.1 二重积分的变量替换公式197

4.2 公式的应用203

4.3 三重积分的变量替换211

5.n重积分220

6.反常重积分226

第十九章 曲线积分与曲面积分238

1.第一型曲线积分238

1.1 第一型曲线积分的定义及其存在性238

1.2 计算公式240

2.第二型曲线积分245

2.1 第二型曲线积分的定义及其存在性245

2.2 计算公式248

2.3 两种类型曲线积分之间的联系252

3.曲面面积257

3.1 由显方程表示的曲面257

3.2 由参数方程表示的曲面259

3.3 连续曲面的面积263

4.第一型曲面积分266

4.1 第一型曲面积分的定义及其计算266

4.2 例与应用269

5.曲面的侧274

6.第二型曲面积分278

6.1 第二型曲面积分的定义278

6.2 计算公式281

6.3 例与应用283

注记288

第二十章 各种积分之间的联系、场论290

1.Green公式290

1.1 Green公式290

1.2 例与调和函数294

2.Gauss公式302

2.1 Gauss公式302

2.2 例与应用305

3.Stokes公式312

4.Brouwer不动点定理317

5.曲线积分与路径无关性322

6.1 数量场与向量场334

6.场论初步334

6.2 数量场的梯度335

6.3 向量场的流量与散度336

6.4 向量场的环量与旋度337

6.5 保守场与势函数339

7.场论的应用340

7.1 在流体力学中的应用341

7.2 在电磁场中的应用344

7.3 Maxwell方程组348

第二十一章 微分形式及其积分351

1.微分形式351

2.外微分357

3.微分形式的拉回363

4.微分流形370

5.微分形式在微分流形上的积分376

6.Stokes公式379

注记384