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第一章 张量概念及其代数运算1

§1 坐标与坐标变换1

一、三维空间中点的坐标表示1

二、n维空间6

三、向量（矢量）7

四、爱因斯坦求和约定11

五、坐标变换12

六、向量的逆变分量与协变分量17

§2 张量概念21

一、几个实例21

二、张量定义24

三、张量的整体表示28

四、各种张量29

§3 张量的代数运算32

一、加法33

二、乘法33

三、缩并34

四、张量的内乘35

五、指标的升降36

六、同名指标的互换36

七、商律（除法定则）——张量识别法则37

§4 仿射正交张量39

一、仿射张量39

二、仿射正交张量与笛卡尔张量40

三、三维空间中的二阶仿射正交张量42

§5 张量概念的推广——张量密度47

一、两个实例47

二、张量密度的概念48

三、张量密度的运算49

四、一个特殊的张量密度——勒维－奇维塔张量密度50

第一章 习题51

第二章 度量空间与度规张量55

§1 什么是黎曼几何55

一、欧氏几何55

二、内蕴几何55

三、黎曼几何59

§2 空间与度规60

一、欧氏空间60

二、欧氏度规61

三、黎曼度规与黎曼空间63

四、黎曼空间与欧氏空间的关系64

§3 黎曼几何的某些概念66

一、黎曼空间中的向量及其标积66

二、向量的平移67

三、一般张量的平移73

四、克里斯托菲符号75

五、坐标变换时联络系数的变换规律78

六、黎曼空间中曲线的弧长80

七、短程线的微分方程81

第二章 习题83

第三章 张量的协变（绝对）微分86

§1 一阶张量的协变微分86

一、逆变（与协变）向量的协变微分86

二、一阶张量协变微分的几何解释89

三、协变导数与协变微分的张量性质90

§2 一般张量的协变微分与微分法则92

一、一般张量的协变微分92

二、协变微分法则93

一、协变微分与平移的关系95

§3 协变微分与平移95

二、向量在平移时的标积96

三、自平行线——测地线与短程线97

§4 黎曼空间中向量分析的概念99

一、标量场的梯度99

二、向量场的散度99

三、向量场的旋度102

第三章 习题104

第四章 曲率张量106

§1 空间“平直性”的判别106

一、平直空间与绝对平行性106

二、空间为平直的要充条件109

一、混合曲率张量Rkmp？的性质110

§2 曲率张量的性质110

二、协变曲率张量Rkmp？的性质112

三、曲率张量的降阶114

§3 黎曼曲率（截面曲率）116

一、二维曲面的高斯曲率116

二、黎曼坐标120

三、黎曼曲率（截面曲率）124

四、常曲率空间128

第四章 习题130

§1 弹性力学中的两个重要张量133

一、应力张量133

第五章 张量应用简述133

二、应力主轴138

三、应变张量139

四、应变主轴143

五、广义虎克定律143

§2 相对论引言144

一、相对论的产生144

二、狭义相对论四维伪欧空间145

三、广义相对论152

附录Ⅰ 欧氏空间中的正交曲线坐标157

附录Ⅱ 公式一览表166

主要参考书176